CONTENTS
Chapter One : AIMS AND TOOLS

1.0. Aims..................................................................................................1
    1.0.1. Conditions...............................................................................1
    1.0.2. History....................................................................................2
    1.0.3. The Flood Problem...............................................................4
    1.0.4. Methodology...........................................................................5
    1.0.5. Arrangement of Contents.....................................................5

1.1.General Tools ..................................................................................7
    1.1.1. Linear Transformations.........................................................7
    1.1.2. Other Transformations..........................................................7
    1.1.3. Symmetry...............................................................................8
    1.1.4. Measures of Dispersion........................................................9
    1.1.5. Moments................................................................................10
    1.1.6. Generating Function..............................................................11
    1.1.7. Convolution............................................................................13
    1.1.8. The Gamma Function...........................................................15
    1.1.9. The Logarithmic Normal Distribution.................................16

1.2. Specific Tools.................................................................................20
    1.2.0. Problems................................................................................20
    1.2.1. The Intensity Function.........................................................20
    1.2.2. The Distribution of Repeated Occurrences........................21
    1.2.3. Analysis of Return Periods..................................................26
    1.2.4. "Observed" Distribution........................................................28
    1.2.5. Construction of Probability Papers.....................................28
    1.2.6. The Plotting Problem...........................................................29
    1.2.7. Conditions for Plotting Positions........................................32
    1.2.8. Fitting Straight Lines on Probability Papers.....................34
    1.2.9. Application to the Normal Distribution..............................38

Chapter Two : ORDER STATISTICS AND THEIR EXCEEDANCES....42

2.1. Order Statistics..............................................................................42
    2.1.0. Problems...............................................................................42
    2.1.1. Distributions.........................................................................42
    2.1.2. Averages..............................................................................43
    2.1.3. Distribution of Frequencies...............................................46
    2.1.4. Asymptotic Distribution of mth Central Values..............47
    2.1.5. The Order Statistic with Minimum Variance...................51
    2.1.6. Control Band......................................................................52
    2.1.7. Joint Distribution of Order Statistics...............................53
    2.1.8. Distribution of Distances..................................................53

2.2. The Distribution of Exceedances..............................................57
    2.2.0. Introduction........................................................................57
    2.2.1. Distribution of the Number of Exceedances.................58
    2.2.2. Moments............................................................................61
    2.2.3. The Median.......................................................................63    
    2.2.4. The Probability of Exceedances as Tolerance Limit...64
    2.2.5. Extrapolation from Small Samples..................................67
    2.2.6. Normal and Rare Exceedances.......................................69
    2.2.7. Frequent Exceedances.....................................................72
    2.2.8. Summary............................................................................73

Chapter Three : EXACT DISTRIBUTION OF EXTERMES.............75

3.1. Averages of Extremes................................................................75
    3.1.0. Problems.............................................................................75
    3.1.1. Exact Distributions............................................................75
    3.1.2. Return Periods of Largest and Large Values................78
    3.1.3. Quantities of Extremes.....................................................79
    3.1.4. Characteristic Extremes....................................................82
    3.1.5. The Extermal Intensity Function......................................84
    3.1.6. The Mode............................................................................85
    3.1.7. Moments..............................................................................87
    3.1.8. The Maximum of the Mean Largest Value.....................89

3.2. Extremal Statistics......................................................................94
    3.2.0. Problems.............................................................................94
    3.2.1. Absolute Extreme Values.................................................94
    3.2.2. Exact Distribution of Range..............................................97
    3.2.3. The Mean Range...............................................................100
    3.2.4. The Range as Tolerance Limit........................................103
    3.2.5. The Maximum of the Mean Range..................................106
    3.2.6. Exact Distribution of the Midrange.................................108
    3.2.7. Asymptotic Independence..................................................110
    3.2.8. The Extremal Quotient......................................................111
Chapter Four : ANALYTICAL STUDY OF EXTREMES................113
4.1. The Exponential Type..............................................................113
    4.1.0. Problems..........................................................................113
    4.1.1. Largest Value for the Exponential Distribution...........113
    4.1.2. Order Statistics for the Exponential Distribution........116
    4.1.3. L''HÔpital''s Rule...............................................................118
    4.1.4. Definition of the Exponential Type...............................120
    4.1.5. The Three Classes..........................................................122
    4.1.6. The Logarithmic Trend...................................................123
    4.1.7. The Characteristic Product.............................................125

4.2. Extreme of the Exponential Type...........................................126
    4.2.0. Problems...........................................................................126
    4.2.1. The Logistic Distribution................................................126
    4.2.2. Normal Extreme, Numerical Values...............................129
    4.2.3. Analysis of Normal Extremes........................................136
    4.2.4. Normal Extreme Deviates...............................................140
    4.2.5. Gamma Distribution..........................................................143
    4.2.6. Logarithmic Normal Distribution......................................146
    4.2.7. The Normal Distribution as a Distribution Extremes....147
4.3. The Cauchy Type.......................................................................149
    4.3.0. Problems.............................................................................149
    4.3.1. The Exponential Type and the Existence of Moments..149
    4.3.2. Pareto''s Distribution..........................................................151 
    4.3.3. Definition of the Pareto and the Cauchy Types............152
    4.3.4. Extremal Properties...........................................................153
    4.3.5. Other Distributions without moments...............................154
    4.3.6. Summary..............................................................................155

Chapter Five : THE FIRST ASYMPTOTIC DISTRIBUTION............156

5.1. The Three Asymptotes................................................................156
    5.1.0. Introduction..........................................................................156
    5.1.1. Preliminary Derivation........................................................156
    5.1.2. The Stability Postulate.......................................................157
    5.1.3. Outline of Other Derivations..............................................162
    5.1.4. Interdependence..................................................................164

5.2. The Double Exponential Distribution..........................................166
    5.2.0. Introduction..........................................................................166
    5.2.1. Derivations...........................................................................166
    5.2.2. The Methods of Cramer and Von Mises...........................170
    5.2.3. Mode and Median.................................................................172
    5.2.4. Generating Functions............................................................173
    5.2.5. Standard and Mean Deviations............................................174
    5.2.6. Probability Paper and Return Period..................................176
    5.2.7. Comparison with Other Distribution....................................179
    5.2.8. Barricelli''s Generalization.....................................................184

5.3. Extreme Order Statistics...............................................................187
    5.3.0. Problems.................................................................................187
    5.3.1. Distribution of the mth Extreme..........................................187
    5.3.2. Probabilities of the mth Extreme........................................189
    5.3.3. Generating Functions............................................................192
    5.3.4. Cramer''s Distribution of mth Extremes..............................194
    5.3.5. Extreme Distances................................................................197
    5.3.6. The Largest Absolute Value and the Two Sample Problem .....198

Chapter Six : USES OF THE FIRST ASYMPTOTE...........................201
6.1. Order Statistics from the Double Exponential Distribution.......201
    6.1.0. Problems................................................................................201
    6.1.1. Maxima of Largest Values..................................................201
    6.1.2. Minima of Largest Values...................................................203
    6.1.3. Consecutive Modes..............................................................206
    6.1.4. Consecutive Means and Variances.....................................208
    6.1.5. Standard Errors....................................................................212
    6.1.6. Extension of the Control Band...........................................216
    6.1.7. The Control Curve of Dick and Darwin............................218

6.2. Estimation of Parameters.............................................................219
    6.2.0. Problems...............................................................................219
    6.2.1. Exponential and Normal Extremes....................................219
    6.2.2. Use of Order Statistics.......................................................223
    6.2.3. Estimates for Probability Paper.........................................226
    6.2.4. Sufficient Estimation Functions, by B .F. Kimball............229
    6.2.5. Maximum Likelihood Estimations, by B. F. Kimball ........231
    6.2.6. Approximate Solutions..........................................................232
    6.2.7. Asymptotic Variance of a Forecast, by B. F. Kimball......234

6.3. Numerical Examples........................................................................236
    6.3.0. Problems.................................................................................236
    6.3.1. Floods.....................................................................................236
    6.3.2. The Design Flood....................................................................238
    6.3.3. Meteorological Examples........................................................241
    6.3.4. Application to Aeronautics......................................................245
    6.3.5. Oldest Ages..............................................................................246
    6.3.6. Breaking Strength...................................................................248
    6.3.7. Breakdown Voltage ................................................................249
    6.3.8. Application to Naval Engineering...........................................251
    6.3.9. An Application to Geology......................................................254

Chapter Seven : THE SECOND AND THIRD ASYMPTOTES................255

7.1. The Second Asymptote......................................................................255
    7.1.0. Problems....................................................................................255
    7.1.1. Frechet''s Derivation.................................................................255
    7.1.2. The Cauchy Type.....................................................................259
    7.1.3. Averages and Moments ..........................................................264
    7.1.4. Estimation of the Parameters..................................................266
    7.1.5. The Increase of the Extremes.................................................269
    7.1.6. Generalization.............................................................................270
    7.1.7. Applications................................................................................271
    7.1.8. Summary.....................................................................................272

7.2. The Third Asymptote..........................................................................272
    7.2.0. Introduction.................................................................................272
    7.2.1. The Von Mises Derivation........................................................273
    7.2.2. Other Derivation.........................................................................276
    7.2.3. Averages and Moments of Smallest Values............................280
    7.2.4. Special Cases..............................................................................285
    7.2.5. The Increase of the Extremes..................................................287
    7.2.6. The 15 Relations Among the 3 Asymptotes............................288

7.3. Applications of the Third Asymptote.................................................289
    7.3.0.Problems.......................................................................................289
    7.3.1. Estimation of the Three Parameters........................................289
    7.3.2. Estimation of T재 Parameters...................................................293
    7.3.3. Analytical Examples....................................................................298
    7.3.4. Droughts.......................................................................................299
    7.3.5. Fatigue Failures..........................................................................302

Chapter Eight : THE RANGE......................................................................306
8.1. Asymptotic Distribution of Range and Midrange...............................306
    8.1.0. Problems.........................................................................................306
    8.1.1. The Range of Minima....................................................................306
    8.1.2. Generating Function of the Range...............................................308
    8.1.3. The Reduced Range......................................................................309
    8.1.4. Asymptotic Distribution of the Midrange....................................311
    8.1.5. A Bivariate Transformation..........................................................312
    8.1.6. Asymptotic Distribution of the Range.........................................316
    8.1.7. Boundary Conditions.....................................................................320
    8.1.8. Extreme Ranges.............................................................................321
    8.1.9. Summary.........................................................................................324

8.2. Extremal Quotient and Geometric Range.............................................324
    8.2.0. Problems........................................................................................324
    8.2.1. Definitions......................................................................................325
    8.2.2. The Extremal Quotient.................................................................326
    8.2.3. The Geometric Range..................................................................327

8.3. Applications..............................................................................................331
    8.3.0. Problems.........................................................................................331
    8.3.1. The Midrange.................................................................................331
    8.3.2. The Parameters in the Distribution of Range............................333
    8.3.3. Normal Ranges...............................................................................336
    8.3.4. Estimation of Initial Standard Deviation......................................338
    8.3.5. Climatological Examples................................................................340

Summary...........................................................................................................345

Bibliography......................................................................................................349

Index..................................................................................................................373